Lahenda sqrt{2x+1}+sqrt{x-4}=3

$$\sqrt{ 2x+1 } + \sqrt{ x-4 } =3$$

Lahendage ja leidke x

$$x=4$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \sqrt{x-4}.

$$\sqrt{2x+1}=3-\sqrt{x-4}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x+1} ja leidke 2x+1.

$$2x+1=\left(3-\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(3-\sqrt{x-4}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$2x+1=9-6\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-4} ja leidke x-4.

$$2x+1=9-6\sqrt{x-4}+x-4$$

Lahutage 4 väärtusest 9, et leida 5.

$$2x+1=5-6\sqrt{x-4}+x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 5+x.

$$2x+1-\left(5+x\right)=-6\sqrt{x-4}$$

Avaldise "5+x" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$2x+1-5-x=-6\sqrt{x-4}$$

Lahutage 5 väärtusest 1, et leida -4.

$$2x-4-x=-6\sqrt{x-4}$$

Kombineerige 2x ja -x, et leida x.

$$x-4=-6\sqrt{x-4}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(x-4\right)^{2}=\left(-6\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x-4\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-8x+16=\left(-6\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Laiendage \left(-6\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16=\left(-6\right)^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste -6 ja leidke 36.

$$x^{2}-8x+16=36\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-4} ja leidke x-4.

$$x^{2}-8x+16=36\left(x-4\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 36 ja x-4.

$$x^{2}-8x+16=36x-144$$

Lahutage mõlemast poolest 36x.

$$x^{2}-8x+16-36x=-144$$

Kombineerige -8x ja -36x, et leida -44x.

$$x^{2}-44x+16=-144$$

Liitke 144 mõlemale poolele.

$$x^{2}-44x+16+144=0$$

Liitke 16 ja 144, et leida 160.

$$x^{2}-44x+160=0$$

Võrrandi käivitamiseks x^{2}-44x+160 valemi abil x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-44 ab=160$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 160.

$$-1,-160 -2,-80 -4,-40 -5,-32 -8,-20 -10,-16$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-160=-161 -2-80=-82 -4-40=-44 -5-32=-37 -8-20=-28 -10-16=-26$$

Lahendus on paar, mis annab summa -44.

$$a=-40 b=-4$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(x+a\right)\left(x+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(x-40\right)\left(x-4\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-40=0 ja x-4=0.

$$x=40 x=4$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-4}=3 väärtusega 40.

$$\sqrt{2\times 40+1}+\sqrt{40-4}=3$$

Lihtsustage. Väärtus x=40 ei vasta võrrandit.

$$15=3$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-4}=3 väärtusega 4.

$$\sqrt{2\times 4+1}+\sqrt{4-4}=3$$

Lihtsustage. Väärtus x=4 vastab võrrandile.

$$3=3$$

Võrrandil \sqrt{2x+1}=-\sqrt{x-4}+3 on ainus lahendus.

$$x=4$$