Lahenda sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Lahendage ja leidke x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-5} ja leidke 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-1} ja leidke x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Lahutage 1 väärtusest 1, et leida 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest x.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Kombineerige 2x ja -x, et leida x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x-5\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Laiendage \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 2 ja leidke 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-1} ja leidke x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 4 ja x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Lahutage mõlemast poolest 4x.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Kombineerige -10x ja -4x, et leida -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Liitke 4 mõlemale poolele.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Liitke 25 ja 4, et leida 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 1, b väärtusega -14 ja c väärtusega 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Tõstke -14 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Liitke 196 ja -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Leidke 80 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Arvu -14 vastand on 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, kui ± on pluss. Liitke 14 ja 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Jagage 14+4\sqrt{5} väärtusega 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, kui ± on miinus. Lahutage 4\sqrt{5} väärtusest 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Jagage 14-4\sqrt{5} väärtusega 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1 väärtusega 2\sqrt{5}+7.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Lihtsustage. Väärtus x=2\sqrt{5}+7 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1 väärtusega 7-2\sqrt{5}.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Lihtsustage. Väärtus x=7-2\sqrt{5} ei vasta võrrandile, sest vasakul ja paremal pool on vastandmärgid.

$$-1=1$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1 väärtusega 2\sqrt{5}+7.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Lihtsustage. Väärtus x=2\sqrt{5}+7 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Võrrandil \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 on ainus lahendus.

$$x=2\sqrt{5}+7$$