Lahenda sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Lahendage ja leidke x

$$x=3$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \sqrt{2x-2}.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-3} ja leidke x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-2} ja leidke 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Lahutage 2 väärtusest 4, et leida 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2+2x.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Avaldise "2+2x" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Lahutage 2 väärtusest -3, et leida -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Kombineerige x ja -2x, et leida -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(-x-5\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Laiendage \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste -4 ja leidke 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-2} ja leidke 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 16 ja 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Lahutage mõlemast poolest 32x.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Kombineerige 10x ja -32x, et leida -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Liitke 32 mõlemale poolele.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Liitke 25 ja 32, et leida 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Võrrandi käivitamiseks x^{2}-22x+57 valemi abil x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-22 ab=57$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Lahendus on paar, mis annab summa -22.

$$a=-19 b=-3$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(x+a\right)\left(x+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-19=0 ja x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 väärtusega 19.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Lihtsustage. Väärtus x=19 ei vasta võrrandit.

$$10=2$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 väärtusega 3.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Lihtsustage. Väärtus x=3 vastab võrrandile.

$$2=2$$

Võrrandil \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 on ainus lahendus.

$$x=3$$