Lahenda sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-1} ja leidke x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Lahutage mõlemast poolest x^{2}.

$$x-1-x^{2}=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$-x^{2}+x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega -1, b väärtusega 1 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Tõstke 1 ruutu.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korrutage omavahel -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korrutage omavahel 4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Liitke 1 ja -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Leidke -3 ruutjuur.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Korrutage omavahel 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}, kui ± on pluss. Liitke -1 ja i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Jagage -1+i\sqrt{3} väärtusega -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{3} väärtusest -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Jagage -1-i\sqrt{3} väärtusega -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x-1}=x väärtusega \frac{-\sqrt{3}i+1}{2}.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} ei vasta võrrandit.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x-1}=x väärtusega \frac{1+\sqrt{3}i}{2}.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} vastab võrrandile.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Võrrandil \sqrt{x-1}=x on ainus lahendus.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$