Lahenda sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-1} ja leidke x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x+1} ja leidke 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Lahutage mõlemast poolest 1.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Lahutage 1 väärtusest -1, et leida -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$x^{2}-2x-2=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 1, b väärtusega -2 ja c väärtusega -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korrutage omavahel -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Liitke 4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Leidke 12 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Jagage 2+2\sqrt{3} väärtusega 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kui ± on miinus. Lahutage 2\sqrt{3} väärtusest 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Jagage 2-2\sqrt{3} väärtusega 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} väärtusega \sqrt{3}+1.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\sqrt{3}+1 vastab võrrandile.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} väärtusega 1-\sqrt{3}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Lihtsustage. Väärtus x=1-\sqrt{3} vastab võrrandile.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Loetle kõik võrrandi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} lahendused.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Lahendage ja leidke x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-1} ja leidke x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x+1} ja leidke 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Lahutage mõlemast poolest 2x.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Lahutage mõlemast poolest 1.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Lahutage 1 väärtusest -1, et leida -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$x^{2}-2x-2=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 1, b väärtusega -2 ja c väärtusega -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Tõstke -2 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Korrutage omavahel -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Liitke 4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Leidke 12 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Arvu -2 vastand on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kui ± on pluss. Liitke 2 ja 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Jagage 2+2\sqrt{3} väärtusega 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, kui ± on miinus. Lahutage 2\sqrt{3} väärtusest 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Jagage 2-2\sqrt{3} väärtusega 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} väärtusega \sqrt{3}+1.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\sqrt{3}+1 vastab võrrandile.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} väärtusega 1-\sqrt{3}. Avaldise \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} on määratlemata, sest radicand ei tohi olla negatiivne.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Võrrandil \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} on ainus lahendus.

$$x=\sqrt{3}+1$$