Lahenda sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=2$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{5x-1} ja leidke 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{3x-2} ja leidke 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kombineerige 5x ja 3x, et leida 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Lahutage 2 väärtusest -1, et leida -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-1} ja leidke x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 8x-3.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Avaldise "8x-3" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Kombineerige x ja -8x, et leida -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Liitke -1 ja 3, et leida 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Laiendage \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste -2 ja leidke 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{5x-1} ja leidke 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{3x-2} ja leidke 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 4 ja 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Rakendage distributiivsusomadus, korrutades avaldise 20x-4 iga liikme avaldise 3x-2 iga liikmega.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kombineerige -40x ja -12x, et leida -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(-7x+2\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Lahutage mõlemast poolest 49x^{2}.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Kombineerige 60x^{2} ja -49x^{2}, et leida 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Liitke 28x mõlemale poolele.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Kombineerige -52x ja 28x, et leida -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Lahutage mõlemast poolest 4.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Lahutage 4 väärtusest 8, et leida 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 11x^{2}+ax+bx+4. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Lahendus on paar, mis annab summa -24.

$$a=-22 b=-2$$

Kirjutage11x^{2}-24x+4 ümber kujul \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Lahutage 11x esimesel ja -2 teise rühma.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Tooge liige x-2 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-2=0 ja 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} väärtusega \frac{2}{11}. Avaldise \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} on määratlemata, sest radicand ei tohi olla negatiivne.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} väärtusega 2.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Lihtsustage. Väärtus x=2 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Võrrandil \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} on ainus lahendus.

$$x=2$$