Lahenda sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -\sqrt{15+x^{2}}.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{25-x^{2}} ja leidke 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{15+x^{2}} ja leidke 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Liitke 16 ja 15, et leida 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 31+x^{2}.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Avaldise "31+x^{2}" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Lahutage 31 väärtusest 25, et leida -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kombineerige -x^{2} ja -x^{2}, et leida -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(-6-2x^{2}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Astme tõstmiseks mõnda teise astmesse korrutage astendajad. Korrutage 2 ja 2, et saada 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Laiendage \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 8 ja leidke 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{15+x^{2}} ja leidke 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 64 ja 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Lahutage mõlemast poolest 960.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Lahutage 960 väärtusest 36, et leida -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Lahutage mõlemast poolest 64x^{2}.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kombineerige 24x^{2} ja -64x^{2}, et leida -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Asendage x^{2} väärtusega t.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 4, b väärtusega -40 ja c väärtusega -924.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Tehke arvutustehted.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Lahendage võrrand t=\frac{40±128}{8}, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$t=21 t=-11$$

Pärast x=t^{2} on lahendused hangitud x=±\sqrt{t} iga t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Asendage x võrrandis \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 väärtusega -\sqrt{21}.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=-\sqrt{21} ei vasta võrrandile, sest vasakul ja paremal pool on vastandmärgid.

$$-4=4$$

Asendage x võrrandis \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 väärtusega \sqrt{21}.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=\sqrt{21} ei vasta võrrandile, sest vasakul ja paremal pool on vastandmärgid.

$$-4=4$$

Asendage x võrrandis \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 väärtusega -\sqrt{11}i.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=-\sqrt{11}i vastab võrrandile.

$$4=4$$

Asendage x võrrandis \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 väärtusega \sqrt{11}i.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=\sqrt{11}i vastab võrrandile.

$$4=4$$

Loetle kõik võrrandi \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 lahendused.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$