Lahenda sqrt{2x-3}-sqrt{x+7}=4

$$\sqrt { 2 x - 3 } - \sqrt { x + 7 } = 4$$

Lahendage ja leidke x

$$x=114$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -\sqrt{x+7}.

$$\sqrt{2x-3}=4+\sqrt{x+7}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-3} ja leidke 2x-3.

$$2x-3=\left(4+\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(4+\sqrt{x+7}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x-3=16+8\sqrt{x+7}+\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x+7} ja leidke x+7.

$$2x-3=16+8\sqrt{x+7}+x+7$$

Liitke 16 ja 7, et leida 23.

$$2x-3=23+8\sqrt{x+7}+x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 23+x.

$$2x-3-\left(23+x\right)=8\sqrt{x+7}$$

Avaldise "23+x" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$2x-3-23-x=8\sqrt{x+7}$$

Lahutage 23 väärtusest -3, et leida -26.

$$2x-26-x=8\sqrt{x+7}$$

Kombineerige 2x ja -x, et leida x.

$$x-26=8\sqrt{x+7}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(x-26\right)^{2}=\left(8\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x-26\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-52x+676=\left(8\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Laiendage \left(8\sqrt{x+7}\right)^{2}.

$$x^{2}-52x+676=8^{2}\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 8 ja leidke 64.

$$x^{2}-52x+676=64\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x+7} ja leidke x+7.

$$x^{2}-52x+676=64\left(x+7\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 64 ja x+7.

$$x^{2}-52x+676=64x+448$$

Lahutage mõlemast poolest 64x.

$$x^{2}-52x+676-64x=448$$

Kombineerige -52x ja -64x, et leida -116x.

$$x^{2}-116x+676=448$$

Lahutage mõlemast poolest 448.

$$x^{2}-116x+676-448=0$$

Lahutage 448 väärtusest 676, et leida 228.

$$x^{2}-116x+228=0$$

Võrrandi käivitamiseks x^{2}-116x+228 valemi abil x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-116 ab=228$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 228.

$$-1,-228 -2,-114 -3,-76 -4,-57 -6,-38 -12,-19$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-228=-229 -2-114=-116 -3-76=-79 -4-57=-61 -6-38=-44 -12-19=-31$$

Lahendus on paar, mis annab summa -116.

$$a=-114 b=-2$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(x+a\right)\left(x+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(x-114\right)\left(x-2\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-114=0 ja x-2=0.

$$x=114 x=2$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-3}-\sqrt{x+7}=4 väärtusega 114.

$$\sqrt{2\times 114-3}-\sqrt{114+7}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=114 vastab võrrandile.

$$4=4$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-3}-\sqrt{x+7}=4 väärtusega 2.

$$\sqrt{2\times 2-3}-\sqrt{2+7}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=2 ei vasta võrrandile, sest vasakul ja paremal pool on vastandmärgid.

$$-2=4$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-3}-\sqrt{x+7}=4 väärtusega 114.

$$\sqrt{2\times 114-3}-\sqrt{114+7}=4$$

Lihtsustage. Väärtus x=114 vastab võrrandile.

$$4=4$$

Võrrandil \sqrt{2x-3}=\sqrt{x+7}+4 on ainus lahendus.

$$x=114$$