Lahenda sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=5$$

Lahenduse etapid

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-1} ja leidke 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-1} ja leidke x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Kombineerige 2x ja x, et leida 3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Lahutage 1 väärtusest -1, et leida -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{6-x} ja leidke 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 3x-2.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Avaldise "3x-2" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Kombineerige -x ja -3x, et leida -4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Liitke 6 ja 2, et leida 8.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Laiendage \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste -2 ja leidke 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-1} ja leidke 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x-1} ja leidke x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 4 ja 2x-1.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Rakendage distributiivsusomadus, korrutades avaldise 8x-4 iga liikme avaldise x-1 iga liikmega.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Kombineerige -8x ja -4x, et leida -12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(8-4x\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Lahutage mõlemast poolest 64.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Lahutage 64 väärtusest 4, et leida -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Liitke 64x mõlemale poolele.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Kombineerige -12x ja 64x, et leida 52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Lahutage mõlemast poolest 16x^{2}.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Kombineerige 8x^{2} ja -16x^{2}, et leida -8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul -2x^{2}+ax+bx-15. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on positiivne, a ja b on mõlemad positiivne. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Arvutage iga paari summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Lahendus on paar, mis annab summa 13.

$$a=10 b=3$$

Kirjutage-2x^{2}+13x-15 ümber kujul \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Lahutage 2x esimesel ja -3 teise rühma.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Tooge liige -x+5 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage -x+5=0 ja 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} väärtusega 5.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Lihtsustage. Väärtus x=5 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} väärtusega \frac{3}{2}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{3}{2} ei vasta võrrandit.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} väärtusega 5.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Lihtsustage. Väärtus x=5 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Võrrandil \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} on ainus lahendus.

$$x=5$$