Lahenda sqrt{2x+1}-sqrt{x+2}=2sqrt{3}

$$\sqrt { 2 x + 1 } - \sqrt { x + 2 } = 2 \sqrt { 3 }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=73$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -\sqrt{x+2}.

$$\sqrt{2x+1}=2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x+1} ja leidke 2x+1.

$$2x+1=\left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(2\sqrt{3}+\sqrt{x+2}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$2x+1=4\left(\sqrt{3}\right)^{2}+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} ruut on 3.

$$2x+1=4\times 3+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Korrutage 4 ja 3, et leida 12.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x+2} ja leidke x+2.

$$2x+1=12+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x+2$$

Liitke 12 ja 2, et leida 14.

$$2x+1=14+4\sqrt{3}\sqrt{x+2}+x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 14+x.

$$2x+1-\left(14+x\right)=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Avaldise "14+x" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$2x+1-14-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Lahutage 14 väärtusest 1, et leida -13.

$$2x-13-x=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Kombineerige 2x ja -x, et leida x.

$$x-13=4\sqrt{3}\sqrt{x+2}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(x-13\right)^{2}=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x-13\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-26x+169=\left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Laiendage \left(4\sqrt{3}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$x^{2}-26x+169=4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 4 ja leidke 16.

$$x^{2}-26x+169=16\left(\sqrt{3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} ruut on 3.

$$x^{2}-26x+169=16\times 3\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Korrutage 16 ja 3, et leida 48.

$$x^{2}-26x+169=48\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x+2} ja leidke x+2.

$$x^{2}-26x+169=48\left(x+2\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 48 ja x+2.

$$x^{2}-26x+169=48x+96$$

Lahutage mõlemast poolest 48x.

$$x^{2}-26x+169-48x=96$$

Kombineerige -26x ja -48x, et leida -74x.

$$x^{2}-74x+169=96$$

Lahutage mõlemast poolest 96.

$$x^{2}-74x+169-96=0$$

Lahutage 96 väärtusest 169, et leida 73.

$$x^{2}-74x+73=0$$

Võrrandi käivitamiseks x^{2}-74x+73 valemi abil x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-74 ab=73$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Ainult siis, kui paar on süsteemi lahendus.

$$a=-73 b=-1$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(x+a\right)\left(x+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(x-73\right)\left(x-1\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-73=0 ja x-1=0.

$$x=73 x=1$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3} väärtusega 73.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Lihtsustage. Väärtus x=73 vastab võrrandile.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3} väärtusega 1.

$$\sqrt{2\times 1+1}-\sqrt{1+2}=2\sqrt{3}$$

Lihtsustage. Väärtus x=1 ei vasta võrrandit.

$$0=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{3} väärtusega 73.

$$\sqrt{2\times 73+1}-\sqrt{73+2}=2\sqrt{3}$$

Lihtsustage. Väärtus x=73 vastab võrrandile.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Võrrandil \sqrt{2x+1}=\sqrt{x+2}+2\sqrt{3} on ainus lahendus.

$$x=73$$