Lahenda sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Lahendage ja leidke x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -\sqrt{19-x^{2}}.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{15+x^{2}} ja leidke 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{19-x^{2}} ja leidke 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Liitke 4 ja 19, et leida 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 23-x^{2}.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Avaldise "23-x^{2}" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Lahutage 23 väärtusest 15, et leida -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kombineerige x^{2} ja x^{2}, et leida 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(-8+2x^{2}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Astme tõstmiseks mõnda teise astmesse korrutage astendajad. Korrutage 2 ja 2, et saada 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Laiendage \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 4 ja leidke 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{19-x^{2}} ja leidke 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 16 ja 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Lahutage mõlemast poolest 304.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Lahutage 304 väärtusest 64, et leida -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Liitke 16x^{2} mõlemale poolele.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Kombineerige -32x^{2} ja 16x^{2}, et leida -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Asendage x^{2} väärtusega t.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 4, b väärtusega -16 ja c väärtusega -240.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Tehke arvutustehted.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Lahendage võrrand t=\frac{16±64}{8}, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$t=10 t=-6$$

Pärast x=t^{2} on lahendused toodud x=±\sqrt{t}, et need oleksid positiivne t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Asendage x võrrandis \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 väärtusega \sqrt{10}.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Lihtsustage. Väärtus x=\sqrt{10} vastab võrrandile.

$$2=2$$

Asendage x võrrandis \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 väärtusega -\sqrt{10}.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Lihtsustage. Väärtus x=-\sqrt{10} vastab võrrandile.

$$2=2$$

Loetle kõik võrrandi \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 lahendused.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$