Lahenda sinalpha

$$\sin \alpha$$

Diferentseeri α-i järgi

$$\cos(\alpha )$$

Juhised tuletise definitsiooni kasutamisel

Funktsiooni f\left(x\right) korral on tuletis \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} piir, kui h läheneb väärtusele 0, kui see piir on olemas.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\sin(\alpha ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\alpha +h)-\sin(\alpha )}{h}\right)$$

Kasutage siinuse summa valemit.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\alpha )-\sin(\alpha )}{h}$$

Tooge \sin(\alpha ) sulgude ette.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\alpha )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\alpha )\sin(h)}{h}$$

Kirjutage piir ümber.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Piirväärtuste arvutamisel, kui h läheneb 0-le, kasutage asjaolu, et \alpha on konstant.

$$\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Piir \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } on 1.

$$\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )$$

Piiri \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} arvutamiseks korrutage esmalt lugeja ja nimetaja väärtusega \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Korrutage omavahel \cos(h)+1 ja \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kasutage Pythagorase samasust.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kirjutage piir ümber.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Piir \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } on 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Kasutage asjaolu, et \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} on 0 korral pidev.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Asendage väärtus 0 avaldises \sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha ).

$$\cos(\alpha )$$

Arvuta

$$\sin(\alpha )$$