Lahenda quad15x^2+23x-28=0

$$\quad 15 x ^ { 2 } + 23 x - 28 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 15x^{2}+ax+bx-28. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=23 ab=15\left(-28\right)=-420$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on positiivne, on positiivne arv suurem kui negatiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

Lahendus on paar, mis annab summa 23.

$$a=-12 b=35$$

Kirjutage15x^{2}+23x-28 ümber kujul \left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right).

$$\left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right)$$

Lahutage 3x esimesel ja 7 teise rühma.

$$3x\left(5x-4\right)+7\left(5x-4\right)$$

Tooge liige 5x-4 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(5x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 5x-4=0 ja 3x+7=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 15, b väärtusega 23 ja c väärtusega -28.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Tõstke 23 ruutu.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Korrutage omavahel -4 ja 15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-60\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Korrutage omavahel -60 ja -28.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1680}}{2\times 15}$$

Liitke 529 ja 1680.

$$x=\frac{-23±\sqrt{2209}}{2\times 15}$$

Leidke 2209 ruutjuur.

$$x=\frac{-23±47}{2\times 15}$$

Korrutage omavahel 2 ja 15.

$$x=\frac{-23±47}{30}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-23±47}{30}, kui ± on pluss. Liitke -23 ja 47.

$$x=\frac{24}{30}$$

Taandage murd \frac{24}{30} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=\frac{4}{5}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-23±47}{30}, kui ± on miinus. Lahutage 47 väärtusest -23.

$$x=-\frac{70}{30}$$

Taandage murd \frac{-70}{30} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 10.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 28.

$$15x^{2}+23x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

-28 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$15x^{2}+23x=-\left(-28\right)$$

Lahutage -28 väärtusest 0.

$$15x^{2}+23x=28$$

Jagage mõlemad pooled 15-ga.

$$\frac{15x^{2}+23x}{15}=\frac{28}{15}$$

15-ga jagamine võtab 15-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x=\frac{28}{15}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{23}{15} 2-ga, et leida \frac{23}{30}. Seejärel liitke \frac{23}{30} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{28}{15}+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{23}{30} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{28}{15}+\frac{529}{900}$$

Liitke \frac{28}{15} ja \frac{529}{900}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{2209}{900}$$

Lahutage x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{2209}{900}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{900}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{23}{30}=\frac{47}{30} x+\frac{23}{30}=-\frac{47}{30}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{23}{30}.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$