Lahenda {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=2$$

$$y=8$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y-2x=4$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2x.

$$y=2x+4$$

Asendage y teises võrrandis 3y+2x=28 väärtusega 4+2x.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Korrutage omavahel 3 ja 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Liitke 6x ja 2x.

$$8x+12=28$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 12.

$$8x=16$$

Jagage mõlemad pooled 8-ga.

$$x=2$$

Asendage x võrrandis y=2x+4 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=2\times 2+4$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$y=4+4$$

Liitke 4 ja 4.

$$y=8$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=8,x=2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=8,x=2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

y ja 3y võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Lihtsustage.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Lahutage 3y+2x=28 võrrandist 3y-6x=12, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Liitke 3y ja -3y. Liikmed 3y ja -3y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-6x-2x=12-28$$

Liitke -6x ja -2x.

$$-8x=12-28$$

Liitke 12 ja -28.

$$-8x=-16$$

Jagage mõlemad pooled -8-ga.

$$x=2$$

Asendage x võrrandis 3y+2x=28 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$3y+2\times 2=28$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$3y+4=28$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 4.

$$3y=24$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$y=8$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=8,x=2$$