Lahenda {l}{y=-2x+2}{y=4x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke y,x

$$x=1$$

$$y=0$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Liitke 2x mõlemale poolele.

$$y+2x=2$$

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 4x.

$$y-4x=-4$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see y-väärtuse suhtes, isoleerides y võrdusmärgist vasakule.

$$y+2x=2$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2x.

$$y=-2x+2$$

Asendage y teises võrrandis y-4x=-4 väärtusega -2x+2.

$$-2x+2-4x=-4$$

Liitke -2x ja -4x.

$$-6x+2=-4$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$-6x=-6$$

Jagage mõlemad pooled -6-ga.

$$x=1$$

Asendage x võrrandis y=-2x+2 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y=-2+2$$

Liitke 2 ja -2.

$$y=0$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=0,x=1$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Liitke 2x mõlemale poolele.

$$y+2x=2$$

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 4x.

$$y-4x=-4$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 2-\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid y ja x.

$$y=0,x=1$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Liitke 2x mõlemale poolele.

$$y+2x=2$$

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest 4x.

$$y-4x=-4$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Lahutage y-4x=-4 võrrandist y+2x=2, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$y-y+2x+4x=2+4$$

Liitke y ja -y. Liikmed y ja -y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$2x+4x=2+4$$

Liitke 2x ja 4x.

$$6x=2+4$$

Liitke 2 ja 4.

$$6x=6$$

Jagage mõlemad pooled 6-ga.

$$x=1$$

Asendage x võrrandis y-4x=-4 väärtusega 1. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$y-4=-4$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 4.

$$y=0$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$y=0,x=1$$