Lahenda {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Liitke y mõlemale poolele.

$$x+y=0$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x+y=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest y.

$$x=-y$$

Asendage x teises võrrandis 2x+y=5 väärtusega -y.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Korrutage omavahel 2 ja -y.

$$-2y+y=5$$

Liitke -2y ja y.

$$-y=5$$

Jagage mõlemad pooled -1-ga.

$$y=-5$$

Asendage y võrrandis x=-y väärtusega -5. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\left(-5\right)$$

Korrutage omavahel -1 ja -5.

$$x=5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=5,y=-5$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Liitke y mõlemale poolele.

$$x+y=0$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=5,y=-5$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Liitke y mõlemale poolele.

$$x+y=0$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Lahutage 2x+y=5 võrrandist x+y=0, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$x-2x+y-y=-5$$

Liitke y ja -y. Liikmed y ja -y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$x-2x=-5$$

Liitke x ja -2x.

$$-x=-5$$

Jagage mõlemad pooled -1-ga.

$$x=5$$

Asendage x võrrandis 2x+y=5 väärtusega 5. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$2\times 5+y=5$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$10+y=5$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 10.

$$y=-5$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=5,y=-5$$