Lahenda {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=1$$

$$y=3$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x+2y=7$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$x=-2y+7$$

Asendage x teises võrrandis 3x-2y=-3 väärtusega -2y+7.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

Korrutage omavahel 3 ja -2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

Liitke -6y ja -2y.

$$-8y+21=-3$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 21.

$$-8y=-24$$

Jagage mõlemad pooled -8-ga.

$$y=3$$

Asendage y võrrandis x=-2y+7 väärtusega 3. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-2\times 3+7$$

Korrutage omavahel -2 ja 3.

$$x=-6+7$$

Liitke 7 ja -6.

$$x=1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=1,y=3$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=1,y=3$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

x ja 3x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 1-ga.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

Lihtsustage.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

Lahutage 3x-2y=-3 võrrandist 3x+6y=21, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

Liitke 3x ja -3x. Liikmed 3x ja -3x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$6y+2y=21+3$$

Liitke 6y ja 2y.

$$8y=21+3$$

Liitke 21 ja 3.

$$8y=24$$

Jagage mõlemad pooled 8-ga.

$$y=3$$

Asendage y võrrandis 3x-2y=-3 väärtusega 3. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$3x-2\times 3=-3$$

Korrutage omavahel -2 ja 3.

$$3x-6=-3$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 6.

$$3x=3$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=1$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=1,y=3$$