Lahenda {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=40$$

$$y=10$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x+2y=60$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$x=-2y+60$$

Asendage x teises võrrandis x-y=30 väärtusega -2y+60.

$$-2y+60-y=30$$

Liitke -2y ja -y.

$$-3y+60=30$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 60.

$$-3y=-30$$

Jagage mõlemad pooled -3-ga.

$$y=10$$

Asendage y võrrandis x=-2y+60 väärtusega 10. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-2\times 10+60$$

Korrutage omavahel -2 ja 10.

$$x=-20+60$$

Liitke 60 ja -20.

$$x=40$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=40,y=10$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=40,y=10$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Lahutage x-y=30 võrrandist x+2y=60, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Liitke x ja -x. Liikmed x ja -x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$2y+y=60-30$$

Liitke 2y ja y.

$$3y=60-30$$

Liitke 60 ja -30.

$$3y=30$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$y=10$$

Asendage y võrrandis x-y=30 väärtusega 10. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x-10=30$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 10.

$$x=40$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=40,y=10$$