Lahenda {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest y.

$$x-y=-5$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$x+2y=1$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$x=-2y+1$$

Asendage x teises võrrandis x-y=-5 väärtusega -2y+1.

$$-2y+1-y=-5$$

Liitke -2y ja -y.

$$-3y+1=-5$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 1.

$$-3y=-6$$

Jagage mõlemad pooled -3-ga.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis x=-2y+1 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-2\times 2+1$$

Korrutage omavahel -2 ja 2.

$$x=-4+1$$

Liitke 1 ja -4.

$$x=-3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-3,y=2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest y.

$$x-y=-5$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-3,y=2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme teist võrrandit. Lahutage mõlemast poolest y.

$$x-y=-5$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Lahutage x-y=-5 võrrandist x+2y=1, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Liitke x ja -x. Liikmed x ja -x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$2y+y=1+5$$

Liitke 2y ja y.

$$3y=1+5$$

Liitke 1 ja 5.

$$3y=6$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis x-y=-5 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x-2=-5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2.

$$x=-3$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-3,y=2$$