Lahenda {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Juhised asendamise kasutamisel

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$2x+y=3$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest y.

$$2x=-y+3$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{2} ja -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Asendage x teises võrrandis x+y=5 väärtusega \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Liitke -\frac{y}{2} ja y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Korrutage mõlemad pooled 2-ga.

$$y=7$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} väärtusega 7. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Korrutage omavahel -\frac{1}{2} ja 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Liitke \frac{3}{2} ja -\frac{7}{2}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=-2$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-2,y=7$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=-2,y=7$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Lahutage x+y=5 võrrandist 2x+y=3, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Liitke y ja -y. Liikmed y ja -y taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$2x-x=3-5$$

Liitke 2x ja -x.

$$x=3-5$$

Liitke 3 ja -5.

$$x=-2$$

Asendage x võrrandis x+y=5 väärtusega -2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate y otse leida.

$$-2+y=5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 2.

$$y=7$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=-2,y=7$$