Lahenda frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Lahendage ja leidke b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Juhised juurvõrrandite lahendamiseks

Ratsionaliseerige korrutades lugeja ja 2+\sqrt{5} nimetaja \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} nimetaja.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Mõelge valemile \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Korrutustehte saab ruutude vaheks teisendada järgmise reegli abil: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Tõstke 2 ruutu. Tõstke \sqrt{5} ruutu.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Lahutage 5 väärtusest 4, et leida -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Korrutage 2+\sqrt{5} ja 2+\sqrt{5}, et leida \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kasutage kaksliikme \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} ruut on 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Liitke 4 ja 5, et leida 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kui arv jagada väärtusega –1, saab tulemuseks selle vastandväärtuse. Avaldise "9+4\sqrt{5}" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Ratsionaliseerige korrutades lugeja ja 2-\sqrt{5} nimetaja \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} nimetaja.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Mõelge valemile \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Korrutustehte saab ruutude vaheks teisendada järgmise reegli abil: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Tõstke 2 ruutu. Tõstke \sqrt{5} ruutu.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Lahutage 5 väärtusest 4, et leida -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Korrutage 2-\sqrt{5} ja 2-\sqrt{5}, et leida \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kasutage kaksliikme \left(2-\sqrt{5}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} ruut on 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Liitke 4 ja 5, et leida 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kui arv jagada väärtusega –1, saab tulemuseks selle vastandväärtuse. Avaldise "9-4\sqrt{5}" vastandi leidmiseks tuleb leida iga liikme vastand.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Lahutage 9 väärtusest -9, et leida -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kombineerige -4\sqrt{5} ja 4\sqrt{5}, et leida 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Vahetage pooled nii, et kõik muutuvad liikmed asuksid vasakul.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Lahutage mõlemast poolest a.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

5-ga jagamine võtab 5-ga korrutamise tagasi.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Lahendage ja leidke a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$