Lahenda x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=14$$

$$y=9$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 21, mis on arvu 7,3 vähim ühiskordne.

$$3x+7y=105$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 14-ga.

$$-x+42y=364$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$3x+7y=105$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 7y.

$$3x=-7y+105$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{3} ja -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Asendage x teises võrrandis -x+42y=364 väärtusega -\frac{7y}{3}+35.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Korrutage omavahel -1 ja -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Liitke \frac{7y}{3} ja 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 35.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Jagage võrrandi mõlemad pooled väärtusega \frac{133}{3}, mis on sama nagu mõlema poole korrutamine murru pöördväärtusega.

$$y=9$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{7}{3}y+35 väärtusega 9. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Korrutage omavahel -\frac{7}{3} ja 9.

$$x=-21+35$$

Liitke 35 ja -21.

$$x=14$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=14,y=9$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 21, mis on arvu 7,3 vähim ühiskordne.

$$3x+7y=105$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 14-ga.

$$-x+42y=364$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=14,y=9$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 21, mis on arvu 7,3 vähim ühiskordne.

$$3x+7y=105$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 14-ga.

$$-x+42y=364$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x ja -x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -1-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Lihtsustage.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Lahutage -3x+126y=1092 võrrandist -3x-7y=-105, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Liitke -3x ja 3x. Liikmed -3x ja 3x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Liitke -7y ja -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Liitke -105 ja -1092.

$$-133y=-1197$$

Jagage mõlemad pooled -133-ga.

$$y=9$$

Asendage y võrrandis -x+42y=364 väärtusega 9. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$-x+42\times 9=364$$

Korrutage omavahel 42 ja 9.

$$-x+378=364$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 378.

$$-x=-14$$

Jagage mõlemad pooled -1-ga.

$$x=14$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=14,y=9$$