Lahenda x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=15$$

$$y=12$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 20, mis on arvu 5,4 vähim ühiskordne.

$$4x=5y$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Korrutage omavahel \frac{1}{4} ja 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Asendage x teises võrrandis -x+y=-3 väärtusega \frac{5y}{4}.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Liitke -\frac{5y}{4} ja y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Korrutage mõlemad pooled -4-ga.

$$y=12$$

Asendage y võrrandis x=\frac{5}{4}y väärtusega 12. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Korrutage omavahel \frac{5}{4} ja 12.

$$x=15$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=15,y=12$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 20, mis on arvu 5,4 vähim ühiskordne.

$$4x=5y$$

Lahutage mõlemast poolest 5y.

$$4x-5y=0$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 3-ga.

$$y=x-3$$

Lahutage mõlemast poolest x.

$$y-x=-3$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=15,y=12$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 20, mis on arvu 5,4 vähim ühiskordne.

$$4x=5y$$

Lahutage mõlemast poolest 5y.

$$4x-5y=0$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 3-ga.

$$y=x-3$$

Lahutage mõlemast poolest x.

$$y-x=-3$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

4x ja -x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed -1-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 4-ga.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Lihtsustage.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Lahutage -4x+4y=-12 võrrandist -4x+5y=0, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Liitke -4x ja 4x. Liikmed -4x ja 4x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$5y-4y=12$$

Liitke 5y ja -4y.

$$y=12$$

Asendage y võrrandis -x+y=-3 väärtusega 12. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$-x+12=-3$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 12.

$$-x=-15$$

Jagage mõlemad pooled -1-ga.

$$x=15$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=15,y=12$$