Lahenda frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Arvuta

$$\frac{32}{9}\approx 3,555555556$$

Lühike lahenduskäik

Ratsionaliseerige korrutades lugeja ja 5-\sqrt{7} nimetaja \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} nimetaja.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Mõelge valemile \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). Korrutustehte saab ruutude vaheks teisendada järgmise reegli abil: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Tõstke 5 ruutu. Tõstke \sqrt{7} ruutu.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Lahutage 7 väärtusest 25, et leida 18.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Korrutage 5-\sqrt{7} ja 5-\sqrt{7}, et leida \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Kasutage kaksliikme \left(5-\sqrt{7}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

\sqrt{7} ruut on 7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Liitke 25 ja 7, et leida 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Ratsionaliseerige korrutades lugeja ja 5+\sqrt{7} nimetaja \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} nimetaja.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Mõelge valemile \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). Korrutustehte saab ruutude vaheks teisendada järgmise reegli abil: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Tõstke 5 ruutu. Tõstke \sqrt{7} ruutu.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Lahutage 7 väärtusest 25, et leida 18.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Korrutage 5+\sqrt{7} ja 5+\sqrt{7}, et leida \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Kasutage kaksliikme \left(5+\sqrt{7}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

\sqrt{7} ruut on 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Liitke 25 ja 7, et leida 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Kuna murdudel \frac{32-10\sqrt{7}}{18} ja \frac{32+10\sqrt{7}}{18} on sama nimetaja, liitke nende lugejad.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Tehke arvutustehted avaldises 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}.

$$\frac{64}{18}$$

Taandage murd \frac{64}{18} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$\frac{32}{9}$$

Lahuta teguriteks

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3,5555555555555554$$