Lahenda 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Lahendage ja leidke x,y

$$x=6$$

$$y=2$$

Juhised asendamise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga.

$$3x+2y=22$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga.

$$2x+y=14$$

Võrrandite paari lahendamiseks asendamist kasutades lahendage esmalt üks võrrand ühe muutuja leidmiseks. Seejärel asendage selle muutuja väärtus teises võrrandis.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Valige kahest võrrandist üks ja lahendage see x-väärtuse suhtes, isoleerides x võrdusmärgist vasakule.

$$3x+2y=22$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2y.

$$3x=-2y+22$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Korrutage omavahel \frac{1}{3} ja -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Asendage x teises võrrandis 2x+y=14 väärtusega \frac{-2y+22}{3}.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Korrutage omavahel 2 ja \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Liitke -\frac{4y}{3} ja y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{44}{3}.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Korrutage mõlemad pooled -3-ga.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3} väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Korrutage omavahel -\frac{2}{3} ja 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Liitke \frac{22}{3} ja -\frac{4}{3}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x=6$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=6,y=2$$

Juhised maatriksite kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga.

$$3x+2y=22$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga.

$$2x+y=14$$

Viige võrrandid standardkujule ja kasutage siis võrrandisüsteemi lahendamiseks maatrikseid.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Kirjutage võrrandid maatrikskujul.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrrandi vasak pool maatriksi \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) pöördmaatriksiga.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Maatriksi ja selle pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Korrutage võrdusmärgist vasakul asuvad maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 maatriksi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) pöördmaatriks on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). Seega saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada maatriksi korrutamise ülesandena.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Korrutage maatriksid.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Tehke arvutus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Eraldage maatriksi elemendid x ja y.

$$x=6,y=2$$

Juhised elimineerimise kasutamisel

Vaatleme esimest võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga.

$$3x+2y=22$$

Vaatleme teist võrrandit. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 2-ga.

$$2x+y=14$$

Kui soovite lahendamiseks kasutada elimineerimismeetodit, peavad ühe muutuja kordajad olema mõlemas võrrandis samad, nii et ühe võrrandi lahutamisel teisest muutuja nullitakse.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

3x ja 2x võrdsustamiseks korrutage esimese võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 2-ga ja teise võrrandi mõlemal poolel kõik liikmed 3-ga.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Lihtsustage.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Lahutage 6x+3y=42 võrrandist 6x+4y=44, lahutades sarnased liikmed kummalgi pool võrdusmärki.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Liitke 6x ja -6x. Liikmed 6x ja -6x taandatakse; järgi jääb ainult ühe lahendatava muutujaga võrrand.

$$4y-3y=44-42$$

Liitke 4y ja -3y.

$$y=44-42$$

Liitke 44 ja -42.

$$y=2$$

Asendage y võrrandis 2x+y=14 väärtusega 2. Kuna tulemuseks saadud võrrand sisaldab ainult ühte muutujat, saate x otse leida.

$$2x+2=14$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2.

$$2x=12$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$x=6$$

Süsteem on nüüd lahendatud.

$$x=6,y=2$$