Lahenda 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-1$$

Lahenduse etapid

Muutuja x ei tohi võrduda ühegagi väärtustest -8,-5,-2,1, kuna nulliga jagamist pole määratletud. Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), mis on arvu x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21 vähim ühiskordne.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 21 ja x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 21x+105 ja x+8, ning koondage sarnased liikmed.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 21 ja x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 21x-21 ja x+8, ning koondage sarnased liikmed.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombineerige 21x^{2} ja 21x^{2}, et leida 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombineerige 273x ja 147x, et leida 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Lahutage 168 väärtusest 840, et leida 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 21 ja x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 21x+42 ja x-1, ning koondage sarnased liikmed.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombineerige 42x^{2} ja 21x^{2}, et leida 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombineerige 420x ja 21x, et leida 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Lahutage 42 väärtusest 672, et leida 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 7 ja x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 7x+14 ja x+5, ning koondage sarnased liikmed.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 7x^{2}+49x+70 ja x+8, ning koondage sarnased liikmed.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Korrutage 21 ja -\frac{1}{21}, et leida -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -1 ja x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -x+1 ja x+2, ning koondage sarnased liikmed.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -x^{2}-x+2 ja x+5, ning koondage sarnased liikmed.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada -x^{3}-6x^{2}-3x+10 ja x+8, ning koondage sarnased liikmed.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Kombineerige 7x^{3} ja -14x^{3}, et leida -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Kombineerige 105x^{2} ja -51x^{2}, et leida 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Kombineerige 462x ja -14x, et leida 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Liitke 560 ja 80, et leida 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Liitke 7x^{3} mõlemale poolele.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Lahutage mõlemast poolest 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Kombineerige 63x^{2} ja -54x^{2}, et leida 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Lahutage mõlemast poolest 448x.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Kombineerige 441x ja -448x, et leida -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Lahutage mõlemast poolest 640.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Lahutage 640 väärtusest 630, et leida -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Liitke x^{4} mõlemale poolele.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Korraldage võrrand ümber, et viia see standardkujule. Järjestage liikmed astmete järgi (kõrgemast madalamani).

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Ratsionaalarvuliste nullkohtade teoreemi järgi on kõik polünoomi ratsionaalarvulised nullkohad kujul \frac{p}{q}, kus p jagab konstantliikme -10 ja q jagab pealiikme kordaja 1. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=1$$

Teoreem korral x-k on polünoomi liikmete iga juure k. Jagage x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 väärtusega x-1, et leida x^{3}+8x^{2}+17x+10. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Ratsionaalarvuliste nullkohtade teoreemi järgi on kõik polünoomi ratsionaalarvulised nullkohad kujul \frac{p}{q}, kus p jagab konstantliikme 10 ja q jagab pealiikme kordaja 1. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=-1$$

Teoreem korral x-k on polünoomi liikmete iga juure k. Jagage x^{3}+8x^{2}+17x+10 väärtusega x+1, et leida x^{2}+7x+10. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 1, b väärtusega 7 ja c väärtusega 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Lahendage võrrand x^{2}+7x+10=0, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=-5 x=-2$$

Eemaldage väärtused, millega muutuja ei saa võrduda.

$$x=-1$$

Loetlege kõik leitud lahendused.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Muutuja x ei tohi võrduda ühegagi väärtustest 1,-5,-2.

$$x=-1$$