Solucionar x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Resolver para x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Para calcular el opuesto de x^{2}-2x+1, calcule el opuesto de cada término.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combina 4x^{2} y -x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combina 2x y 2x para obtener 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Resta 6 en los dos lados.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Resta 6 de -1 para obtener -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx-7. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La solución es el par que proporciona suma 4.

$$a=-3 b=7$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+4x-7 como \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 7 en el segundo grupo.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Simplifica el término común x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-1=0 y 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Para calcular el opuesto de x^{2}-2x+1, calcule el opuesto de cada término.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combina 4x^{2} y -x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combina 2x y 2x para obtener 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Resta 6 en los dos lados.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Resta 6 de -1 para obtener -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, 4 por b y -7 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Suma 16 y 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4±10}{6} dónde ± es más. Suma -4 y 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Divide 6 por 6.

$$x=1$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4±10}{6} dónde ± es menos. Resta 10 de -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-14}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Para calcular el opuesto de x^{2}-2x+1, calcule el opuesto de cada término.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combina 4x^{2} y -x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combina 2x y 2x para obtener 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Agrega 1 a ambos lados.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Suma 6 y 1 para obtener 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Divida \frac{4}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{2}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{2}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{2}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Suma \frac{7}{3} y \frac{4}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Resta \frac{2}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$