Solucionar x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Resolver para x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Pasos de la solución

Resta x^{2}+11 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+11, calcule el opuesto de cada término.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Resta 11 de 42 para obtener 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}+11} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Resta 961 en los dos lados.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Resta 961 de 11 para obtener -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Agrega 62x^{2} a ambos lados.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Combina x^{2} y 62x^{2} para obtener 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Resta x^{4} en los dos lados.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Sustituir t por x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya -1 por a, 63 por b y -950 por c en la fórmula cuadrática.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Haga los cálculos.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Resuelva la ecuación t=\frac{-63±13}{-2} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$t=25 t=38$$

Dado que x=t^{2}, las soluciones se obtienen evaluando x=±\sqrt{t} para cada t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Sustituya 5 por x en la ecuación x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$42=42$$

Sustituya -5 por x en la ecuación x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Simplifica. El valor x=-5 satisface la ecuación.

$$42=42$$

Sustituya \sqrt{38} por x en la ecuación x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Simplifica. El valor x=\sqrt{38} no satisface la ecuación.

$$56=42$$

Sustituya -\sqrt{38} por x en la ecuación x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Simplifica. El valor x=-\sqrt{38} no satisface la ecuación.

$$56=42$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$