Solucionar x^2+(x+3/2)^2-8x-2(x+3/2)+7=0

$$x ^ { 2 } + ( \frac { x + 3 } { 2 } ) ^ { 2 } - 8 x - 2 ( \frac { x + 3 } { 2 } ) + 7 = 0$$

Resolver para x

$$x=1$$

$$x=5$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Para elevar \frac{x+3}{2} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica x^{2}-8x por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Como \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} y \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Haga las multiplicaciones en \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Combine los términos semejantes en 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Expresa 2\times \frac{x+3}{2} como una única fracción.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Anula 2 y 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Para calcular el opuesto de x+3, calcule el opuesto de cada término.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica -x-3 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Como \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} y \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Haga las multiplicaciones en 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Combine los términos semejantes en 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Expresa 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} como una única fracción.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Anula 2 tanto en el numerador como en el denominador.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Divida cada una de las condiciones de 5x^{2}-30x-3 por 2 para obtener \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Suma -\frac{3}{2} y 14 para obtener \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace \frac{5}{2} por a, -15 por b y \frac{25}{2} por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Obtiene el cuadrado de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{5}{2}\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplica -4 por \frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-10\times \frac{25}{2}}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplica -10 por \frac{25}{2}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-125}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Suma 225 y -125.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{100}}{2\times \frac{5}{2}}$$

Toma la raíz cuadrada de 100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

El opuesto de -15 es 15.

$$x=\frac{15±10}{2\times \frac{5}{2}}$$

Multiplica 2 por \frac{5}{2}.

$$x=\frac{15±10}{5}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{15±10}{5} dónde ± es más. Suma 15 y 10.

$$x=\frac{25}{5}$$

Divide 25 por 5.

$$x=5$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{15±10}{5} dónde ± es menos. Resta 10 de 15.

$$x=\frac{5}{5}$$

Divide 5 por 5.

$$x=1$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=5 x=1$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplica los dos lados de la ecuación por 2.

$$2\left(x^{2}+\left(\frac{x+3}{2}\right)^{2}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Para elevar \frac{x+3}{2} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$2\left(x^{2}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-8x-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica x^{2}-8x por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Como \frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}}{2^{2}} y \frac{\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$2\left(\frac{\left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Haga las multiplicaciones en \left(x^{2}-8x\right)\times 2^{2}+\left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Combine los términos semejantes en 4x^{2}-32x+x^{2}+6x+9.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-2\times \frac{x+3}{2}\right)+14=0$$

Expresa 2\times \frac{x+3}{2} como una única fracción.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right)+14=0$$

Anula 2 y 2.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-\left(x+3\right)\right)+14=0$$

Para calcular el opuesto de x+3, calcule el opuesto de cada término.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}-x-3\right)+14=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica -x-3 por \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$2\left(\frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}}+\frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}\right)+14=0$$

Como \frac{5x^{2}-26x+9}{2^{2}} y \frac{\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+14=0$$

Haga las multiplicaciones en 5x^{2}-26x+9+\left(-x-3\right)\times 2^{2}.

$$2\times \frac{5x^{2}-26x+9-4x-12}{2^{2}}+14=0$$

Combine los términos semejantes en 5x^{2}-26x+9-4x-12.

$$2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}}+14=0$$

Expresa 2\times \frac{5x^{2}-30x-3}{2^{2}} como una única fracción.

$$\frac{2\left(5x^{2}-30x-3\right)}{2^{2}}+14=0$$

Anula 2 tanto en el numerador como en el denominador.

$$\frac{5x^{2}-30x-3}{2}+14=0$$

Divida cada una de las condiciones de 5x^{2}-30x-3 por 2 para obtener \frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x-\frac{3}{2}+14=0$$

Suma -\frac{3}{2} y 14 para obtener \frac{25}{2}.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x+\frac{25}{2}=0$$

Resta \frac{25}{2} en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$\frac{5}{2}x^{2}-15x=-\frac{25}{2}$$

Divide los dos lados de la ecuación por \frac{5}{2}, que es lo mismo que multiplicar los dos lados por el recíproco de la fracción.

$$\frac{\frac{5}{2}x^{2}-15x}{\frac{5}{2}}=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Al dividir por \frac{5}{2}, se deshace la multiplicación por \frac{5}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{5}{2}}\right)x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Divide -15 por \frac{5}{2} al multiplicar -15 por el recíproco de \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-\frac{\frac{25}{2}}{\frac{5}{2}}$$

Divide -\frac{25}{2} por \frac{5}{2} al multiplicar -\frac{25}{2} por el recíproco de \frac{5}{2}.

$$x^{2}-6x=-5$$

Divida -6, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -3. A continuación, agregue el cuadrado de -3 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -3.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Suma -5 y 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Factor x^{2}-6x+9. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifica.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Suma 3 a los dos lados de la ecuación.

$$x=5 x=1$$