Solucionar x^10+5x^5-1=0

$$x ^ { 10 } + 5 x ^ { 5 } - 1 = 0$$

Resolver para x (solución compleja)

$$x\in \frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{9\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{3\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},-\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{7\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{8\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{4\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{6\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Sustituir t por x^{5}.

$$t^{2}+5t-1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, 5 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2}$$

Resuelva la ecuación t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$t=\frac{\sqrt{29}-5}{2} t=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Dado que x=t^{5}, las soluciones se obtienen resolviendo la ecuación de cada t.

$$x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=-ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=-e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=-\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}$$

Resolver para x

$$x=\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2}\approx 0,719321963$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{4}{5}} \sqrt[5]{-\sqrt{29} - 5}}{2} \approx 1,390198064$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Sustituir t por x^{5}.

$$t^{2}+5t-1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, 5 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2}$$

Resuelva la ecuación t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$t=\frac{\sqrt{29}-5}{2} t=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Dado que x=t^{5}, las soluciones se obtienen evaluando x=\sqrt[5]{t} para cada t.

$$x=\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{-\sqrt{29}-5}{2}}$$