Solucionar x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Resolver para x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x y 9x para obtener 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x y -2x para obtener 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Suma 3 y 4 para obtener 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resta 6x^{2} en los dos lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Agrega 12 a ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Suma 7 y 12 para obtener 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -6x^{2}+ax+bx+19. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

La solución es el par que proporciona suma 13.

$$a=19 b=-6$$

Vuelva a escribir -6x^{2}+13x+19 como \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Simplifica -x en el primer grupo y -1 en el segundo.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Simplifica el término común 6x-19 con la propiedad distributiva.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 6x-19=0 y -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x y 9x para obtener 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x y -2x para obtener 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Suma 3 y 4 para obtener 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resta 6x^{2} en los dos lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Agrega 12 a ambos lados.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Suma 7 y 12 para obtener 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya -6 por a, 13 por b y 19 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica -4 por -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica 24 por 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Suma 169 y 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica 2 por -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-13±25}{-12} cuando ± es más. Suma -13 y 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Divide 12 por -12.

$$x=-1$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-13±25}{-12} cuando ± es menos. Resta 25 de -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Reduzca la fracción \frac{-38}{-12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplique ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo común denominador de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combina 6x y 9x para obtener 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combina 15x y -2x para obtener 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Suma 3 y 4 para obtener 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Resta 6x^{2} en los dos lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Resta 7 en los dos lados.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Resta 7 de -12 para obtener -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Divide los dos lados por -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Al dividir por -6, se deshace la multiplicación por -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divide 13 por -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divide -19 por -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Divida -\frac{13}{6}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{13}{12}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{13}{12} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{13}{12}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Suma \frac{19}{6} y \frac{169}{144}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Factoriza x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Suma \frac{13}{12} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$