Solucionar n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Resolver para n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Pasos para usar factorizar

Para resolver la ecuación, factor n^{2}-n-210 utilizar la fórmula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -1.

$$a=-15 b=14$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(n+a\right)\left(n+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva n-15=0 y n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como n^{2}+an+bn-210. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -1.

$$a=-15 b=14$$

Vuelva a escribir n^{2}-n-210 como \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Simplifica n en el primer grupo y 14 en el segundo.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Simplifica el término común n-15 con la propiedad distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva n-15=0 y n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$n^{2}-n-210=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 1 por a, -1 por b y -210 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Suma 1 y 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

El opuesto de -1 es 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Ahora resuelva la ecuación n=\frac{1±29}{2} cuando ± es más. Suma 1 y 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Divide 30 por 2.

$$n=15$$

Ahora resuelva la ecuación n=\frac{1±29}{2} cuando ± es menos. Resta 29 de 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Divide -28 por 2.

$$n=-14$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=15 n=-14$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Suma 210 a los dos lados de la ecuación.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Al restar -210 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Resta -210 de 0.

$$n^{2}-n=210$$

Divida -1, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{1}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{2} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Suma 210 y \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Factoriza n^{2}-n+\frac{1}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$n=15 n=-14$$