Solucionar f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Calcular

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Pasos de la solución

Evaluar primero la integral indefinida.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrar suma término por término.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Simplificar la constante en cada uno de los términos.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Dado que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int t^{2}\mathrm{d}t por \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Dado que \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para k\neq -1, reemplace \int t\mathrm{d}t por \frac{t^{2}}{2}. Multiplica -1 por \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

La integral definida es la antiderivada de la expresión calculada en el límite superior de la integración, menos la antiderivada calculada en el límite inferior de la integración.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Simplifica.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Diferenciar w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$