Solucionar 9y^2+12y+4=0

$$9 y ^ { 2 } + 12 y + 4 = 0$$

Resolver para y

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 9y^{2}+ay+by+4. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=12 ab=9\times 4=36$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La solución es el par que proporciona suma 12.

$$a=6 b=6$$

Vuelva a escribir 9y^{2}+12y+4 como \left(9y^{2}+6y\right)+\left(6y+4\right).

$$\left(9y^{2}+6y\right)+\left(6y+4\right)$$

Factoriza 3y en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$3y\left(3y+2\right)+2\left(3y+2\right)$$

Simplifica el término común 3y+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(3y+2\right)\left(3y+2\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(3y+2\right)^{2}$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3y+2=0.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$9y^{2}+12y+4=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 9 por a, 12 por b y 4 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 4.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Suma 144 y -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=-\frac{12}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{-12}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}+12y+4=0$$

Resta 4 en los dos lados de la ecuación.

$$9y^{2}+12y+4-4=-4$$

Al restar 4 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$9y^{2}+12y=-4$$

Divide los dos lados por 9.

$$\frac{9y^{2}+12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

Al dividir por 9, se deshace la multiplicación por 9.

$$y^{2}+\frac{12}{9}y=-\frac{4}{9}$$

Reduzca la fracción \frac{12}{9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Divida \frac{4}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{2}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{2}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{2}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Suma -\frac{4}{9} y \frac{4}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Factor y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y+\frac{2}{3}=0 y+\frac{2}{3}=0$$

Resta \frac{2}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{2}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.

$$y=-\frac{2}{3}$$