Solucionar 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Resolver para n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Resta 3n^{2} en los dos lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} y -3n^{2} para obtener 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 6n^{2}+an+bn+20. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solución es el par que proporciona suma -23.

$$a=-15 b=-8$$

Vuelva a escribir 6n^{2}-23n+20 como \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Factoriza 3n en el primero y -4 en el segundo grupo.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Simplifica el término común 2n-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2n-5=0 y 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Resta 3n^{2} en los dos lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} y -3n^{2} para obtener 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 6 por a, -23 por b y 20 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Obtiene el cuadrado de -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Suma 529 y -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Toma la raíz cuadrada de 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

El opuesto de -23 es 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{23±7}{12} dónde ± es más. Suma 23 y 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Reduzca la fracción \frac{30}{12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación n=\frac{23±7}{12} dónde ± es menos. Resta 7 de 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Reduzca la fracción \frac{16}{12} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Resta 3n^{2} en los dos lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combina 9n^{2} y -3n^{2} para obtener 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Resta 20 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Divide los dos lados por 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Al dividir por 6, se deshace la multiplicación por 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{-20}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Divida -\frac{23}{6}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{23}{12}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{23}{12} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{23}{12}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Suma -\frac{10}{3} y \frac{529}{144}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Suma \frac{23}{12} a los dos lados de la ecuación.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$