Solucionar 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Resolver para x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 9x^{2}+ax+bx+25. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

La solución es el par que proporciona suma -30.

$$a=-15 b=-15$$

Vuelva a escribir 9x^{2}-30x+25 como \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Simplifica 3x en el primer grupo y -5 en el segundo.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Simplifica el término común 3x-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 9 por a, -30 por b y 25 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Suma 900 y -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

El opuesto de -30 es 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{30}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Resta 25 en los dos lados de la ecuación.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Al restar 25 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Divide los dos lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Al dividir por 9, se deshace la multiplicación por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Reduzca la fracción \frac{-30}{9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divida -\frac{10}{3}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{5}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{5}{3} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{5}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Suma -\frac{25}{9} y \frac{25}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Factoriza x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Suma \frac{5}{3} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.

$$x=\frac{5}{3}$$