Solucionar 9x^2+6x-9<0

$$9 { x }^{ 2 } +6x-9 < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}+6x-9=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 9 por a, 6 por b y -9 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-9\right)}}{2\times 9}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{10}}{18}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{-6±6\sqrt{10}}{18} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$9\left(x-\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, x-\frac{\sqrt{10}-1}{3} y x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3} deben tener los signos opuestos. Considere el caso cuando x-\frac{\sqrt{10}-1}{3} sea positivo y x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3} sea negativo.

$$x-\frac{\sqrt{10}-1}{3}>0 x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3}<0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3} sea positivo y x-\frac{\sqrt{10}-1}{3} sea negativo.

$$x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3}>0 x-\frac{\sqrt{10}-1}{3}<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)$$