Solucionar 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Resolver para x (solución compleja)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 84 por a, 4\sqrt{3} por b y 3 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Obtiene el cuadrado de 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplica -4 por 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplica -336 por 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Suma 48 y -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Toma la raíz cuadrada de -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Multiplica 2 por 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} dónde ± es más. Suma -4\sqrt{3} y 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Divide -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} por 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} dónde ± es menos. Resta 8i\sqrt{15} de -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Divide -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} por 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Resta 3 en los dos lados de la ecuación.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Al restar 3 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Divide los dos lados por 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Al dividir por 84, se deshace la multiplicación por 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Divide 4\sqrt{3} por 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Reduzca la fracción \frac{-3}{84} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Divida \frac{\sqrt{3}}{21}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{\sqrt{3}}{42}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{\sqrt{3}}{42} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Suma -\frac{1}{28} y \frac{1}{588}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Factor x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Resta \frac{\sqrt{3}}{42} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$