Solucionar 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Factorizar

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pasos de la solución

Factoriza la expresión agrupando. Primero, es necesario volver a escribir la expresión como 81x^{2}+ax+bx+100. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

La solución es el par que proporciona suma 180.

$$a=90 b=90$$

Vuelva a escribir 81x^{2}+180x+100 como \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Factoriza 9x en el primero y 10 en el segundo grupo.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Simplifica el término común 9x+10 con la propiedad distributiva.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pasos para usar cuadrado de binomio

El trinomio tiene la forma de un cuadrado de trinomio, tal vez multiplicado por un factor común. Los cuadrados de trinomio solo se pueden factorizar si se obtienen las raíces cuadradas del primer término y del último.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Obtiene el máximo común divisor de los coeficientes.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Obtiene la raíz cuadrada del primer término, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Obtiene la raíz cuadrada del último término, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

El cuadrado del trinomio es el cuadrado del binomio, que es la suma o diferencia de las raíces cuadradas del primer y último término, con el signo determinado por el signo del término medio del cuadrado del trinomio.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Obtiene el cuadrado de 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplica -4 por 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplica -324 por 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Suma 32400 y -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multiplica 2 por 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Factorice la expresión original con ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sustituya -\frac{10}{9} por x_{1} y -\frac{10}{9} por x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Simplifica todas las expresiones con la forma p-\left(-q\right) a p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Suma \frac{10}{9} y x. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Suma \frac{10}{9} y x. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multiplica \frac{9x+10}{9} por \frac{9x+10}{9}. Para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multiplica 9 por 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Cancela el máximo común divisor 81 en 81 y 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Calcular

$$\left(9x+10\right)^{2}$$