Solucionar 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Resolver para x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Resta 21 en los dos lados.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 8x^{2}+ax+bx-21. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

La solución es el par que proporciona suma 2.

$$a=-12 b=14$$

Vuelva a escribir 8x^{2}+2x-21 como \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Factoriza 4x en el primero y 7 en el segundo grupo.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Simplifica el término común 2x-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2x-3=0 y 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$8x^{2}+2x=21$$

Resta 21 en los dos lados de la ecuación.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Al restar 21 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 8 por a, 2 por b y -21 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Obtiene el cuadrado de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Suma 4 y 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Toma la raíz cuadrada de 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-2±26}{16} dónde ± es más. Suma -2 y 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Reduzca la fracción \frac{24}{16} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-2±26}{16} dónde ± es menos. Resta 26 de -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Reduzca la fracción \frac{-28}{16} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

Divide los dos lados por 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Al dividir por 8, se deshace la multiplicación por 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{2}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Divida \frac{1}{4}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{1}{8}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{1}{8} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{8}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Suma \frac{21}{8} y \frac{1}{64}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Resta \frac{1}{8} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$