Solucionar 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Factorizar

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Pasos de la solución

Factoriza la expresión agrupando. Primero, es necesario volver a escribir la expresión como 77r^{2}+ar+br-18. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

La solución es el par que proporciona suma 45.

$$a=-21 b=66$$

Vuelva a escribir 77r^{2}+45r-18 como \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Factoriza 7r en el primero y 6 en el segundo grupo.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Simplifica el término común 11r-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Obtiene el cuadrado de 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplica -4 por 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplica -308 por -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Suma 2025 y 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Toma la raíz cuadrada de 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Multiplica 2 por 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Ahora, resuelva la ecuación r=\frac{-45±87}{154} dónde ± es más. Suma -45 y 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Reduzca la fracción \frac{42}{154} a su mínima expresión extrayendo y anulando 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Ahora, resuelva la ecuación r=\frac{-45±87}{154} dónde ± es menos. Resta 87 de -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Reduzca la fracción \frac{-132}{154} a su mínima expresión extrayendo y anulando 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Factorice la expresión original con ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sustituya \frac{3}{11} por x_{1} y -\frac{6}{7} por x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Simplifica todas las expresiones con la forma p-\left(-q\right) a p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Resta \frac{3}{11} de r. Para hacerlo, calcula un denominador común y resta los numeradores. Después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Suma \frac{6}{7} y r. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Multiplica \frac{11r-3}{11} por \frac{7r+6}{7}. Para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Multiplica 11 por 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Cancela el máximo común divisor 77 en 77 y 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Calcular

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$