Solucionar 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Resolver para x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 15x^{2}+ax+bx-2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solución es el par que proporciona suma 7.

$$a=-3 b=10$$

Vuelva a escribir 15x^{2}+7x-2 como \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Simplifica el término común 5x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 5x-1=0 y 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 75 por a, 35 por b y -10 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Obtiene el cuadrado de 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplica -4 por 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplica -300 por -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Suma 1225 y 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Toma la raíz cuadrada de 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplica 2 por 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-35±65}{150} dónde ± es más. Suma -35 y 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Reduzca la fracción \frac{30}{150} a su mínima expresión extrayendo y anulando 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-35±65}{150} dónde ± es menos. Resta 65 de -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Reduzca la fracción \frac{-100}{150} a su mínima expresión extrayendo y anulando 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Suma 10 a los dos lados de la ecuación.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Al restar -10 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Resta -10 de 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Divide los dos lados por 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Al dividir por 75, se deshace la multiplicación por 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Reduzca la fracción \frac{35}{75} a su mínima expresión extrayendo y anulando 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Reduzca la fracción \frac{10}{75} a su mínima expresión extrayendo y anulando 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Divida \frac{7}{15}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{7}{30}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{7}{30} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{7}{30}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Suma \frac{2}{15} y \frac{49}{900}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Resta \frac{7}{30} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$