Solucionar 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Resolver para x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 7x^{2}+ax+bx-15. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

La solución es el par que proporciona suma -32.

$$a=-35 b=3$$

Vuelva a escribir 7x^{2}-32x-15 como \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factoriza 7x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Simplifica el término común x-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-5=0 y 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 7 por a, -32 por b y -15 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Obtiene el cuadrado de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Multiplica -4 por 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Multiplica -28 por -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Suma 1024 y 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Toma la raíz cuadrada de 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

El opuesto de -32 es 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Multiplica 2 por 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{32±38}{14} dónde ± es más. Suma 32 y 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Divide 70 por 14.

$$x=5$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{32±38}{14} dónde ± es menos. Resta 38 de 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Reduzca la fracción \frac{-6}{14} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Suma 15 a los dos lados de la ecuación.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Al restar -15 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Resta -15 de 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Divide los dos lados por 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Al dividir por 7, se deshace la multiplicación por 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Divida -\frac{32}{7}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{16}{7}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{16}{7} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{16}{7}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Suma \frac{15}{7} y \frac{256}{49}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Factor x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Suma \frac{16}{7} a los dos lados de la ecuación.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$