Solucionar 69x^2-38x+5=0

$$69 { x }^{ 2 } -38x+5=0$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=\frac{5}{23}\approx 0,217391304$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 69x^{2}+ax+bx+5. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-38 ab=69\times 5=345$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 345.

$$-1,-345 -3,-115 -5,-69 -15,-23$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-345=-346 -3-115=-118 -5-69=-74 -15-23=-38$$

La solución es el par que proporciona suma -38.

$$a=-23 b=-15$$

Vuelva a escribir 69x^{2}-38x+5 como \left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right).

$$\left(69x^{2}-23x\right)+\left(-15x+5\right)$$

Factoriza 23x en el primero y -5 en el segundo grupo.

$$23x\left(3x-1\right)-5\left(3x-1\right)$$

Simplifica el término común 3x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(23x-5\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x-1=0 y 23x-5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 69 por a, -38 por b y 5 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Obtiene el cuadrado de -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 69\times 5}}{2\times 69}$$

Multiplica -4 por 69.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-276\times 5}}{2\times 69}$$

Multiplica -276 por 5.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1380}}{2\times 69}$$

Suma 1444 y -1380.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{64}}{2\times 69}$$

Toma la raíz cuadrada de 64.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±8}{2\times 69}$$

El opuesto de -38 es 38.

$$x=\frac{38±8}{2\times 69}$$

Multiplica 2 por 69.

$$x=\frac{38±8}{138}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{38±8}{138} dónde ± es más. Suma 38 y 8.

$$x=\frac{46}{138}$$

Reduzca la fracción \frac{46}{138} a su mínima expresión extrayendo y anulando 46.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{38±8}{138} dónde ± es menos. Resta 8 de 38.

$$x=\frac{30}{138}$$

Reduzca la fracción \frac{30}{138} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=\frac{5}{23}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$69x^{2}-38x+5=0$$

Resta 5 en los dos lados de la ecuación.

$$69x^{2}-38x+5-5=-5$$

Al restar 5 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$69x^{2}-38x=-5$$

Divide los dos lados por 69.

$$\frac{69x^{2}-38x}{69}=-\frac{5}{69}$$

Al dividir por 69, se deshace la multiplicación por 69.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x=-\frac{5}{69}$$

Divida -\frac{38}{69}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{19}{69}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{19}{69} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}=-\frac{5}{69}+\left(-\frac{19}{69}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{19}{69}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=-\frac{5}{69}+\frac{361}{4761}$$

Suma -\frac{5}{69} y \frac{361}{4761}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}=\frac{16}{4761}$$

Factor x^{2}-\frac{38}{69}x+\frac{361}{4761}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}=\frac{16}{4761}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{69}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{4761}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{19}{69}=\frac{4}{69} x-\frac{19}{69}=-\frac{4}{69}$$

Suma \frac{19}{69} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{5}{23}$$