Solucionar 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Resolver para n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$5n+4n^{2}=636$$

Resta 636 en los dos lados.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 4n^{2}+an+bn-636. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

La solución es el par que proporciona suma 5.

$$a=-48 b=53$$

Vuelva a escribir 4n^{2}+5n-636 como \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Simplifica 4n en el primer grupo y 53 en el segundo.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Simplifica el término común n-12 con la propiedad distributiva.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva n-12=0 y 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$5n+4n^{2}=636$$

Resta 636 en los dos lados.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 4 por a, 5 por b y -636 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Obtiene el cuadrado de 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Suma 25 y 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Toma la raíz cuadrada de 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Ahora resuelva la ecuación n=\frac{-5±101}{8} cuando ± es más. Suma -5 y 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Divide 96 por 8.

$$n=12$$

Ahora resuelva la ecuación n=\frac{-5±101}{8} cuando ± es menos. Resta 101 de -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{-106}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$5n+4n^{2}=636$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Divide 636 por 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Divida \frac{5}{4}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener \frac{5}{8}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{5}{8} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{5}{8}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Suma 159 y \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Factoriza n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Simplifica.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Resta \frac{5}{8} en los dos lados de la ecuación.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$