Solucionar 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Resolver para x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 5x^{2}+ax+bx-2184. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

La solución es el par que proporciona suma -1.

$$a=-105 b=104$$

Vuelva a escribir 5x^{2}-x-2184 como \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Factoriza 5x en el primero y 104 en el segundo grupo.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Simplifica el término común x-21 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-21=0 y 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 5 por a, -1 por b y -2184 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Suma 1 y 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Toma la raíz cuadrada de 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

El opuesto de -1 es 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{1±209}{10} dónde ± es más. Suma 1 y 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Divide 210 por 10.

$$x=21$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{1±209}{10} dónde ± es menos. Resta 209 de 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Reduzca la fracción \frac{-208}{10} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Suma 2184 a los dos lados de la ecuación.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Al restar -2184 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Resta -2184 de 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Divide los dos lados por 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Al dividir por 5, se deshace la multiplicación por 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Divida -\frac{1}{5}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{1}{10}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{1}{10} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{1}{10}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Suma \frac{2184}{5} y \frac{1}{100}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Suma \frac{1}{10} a los dos lados de la ecuación.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$