Solucionar 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Resolver para x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx-15. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

La solución es el par que proporciona suma 2.

$$a=-3 b=5$$

Vuelva a escribir x^{2}+2x-15 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Factoriza x en el primero y 5 en el segundo grupo.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Simplifica el término común x-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-3=0 y x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 5 por a, 10 por b y -75 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Obtiene el cuadrado de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -4 por 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplica -20 por -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Suma 100 y 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Toma la raíz cuadrada de 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Multiplica 2 por 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-10±40}{10} dónde ± es más. Suma -10 y 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divide 30 por 10.

$$x=3$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-10±40}{10} dónde ± es menos. Resta 40 de -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Divide -50 por 10.

$$x=-5$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=3 x=-5$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Suma 75 a los dos lados de la ecuación.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Al restar -75 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Resta -75 de 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Divide los dos lados por 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Al dividir por 5, se deshace la multiplicación por 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Divide 10 por 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Divide 75 por 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Divida 2, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener 1. A continuación, agregue el cuadrado de 1 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Obtiene el cuadrado de 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Suma 15 y 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Factor x^{2}+2x+1. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifica.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Resta 1 en los dos lados de la ecuación.

$$x=3 x=-5$$