Solucionar 48=8sqrt{7}y-4y^2

$$48 = 8 \sqrt{ 7 } y-4 { y }^{ 2 }$$

Resolver para y

$$y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i\approx 2,645751311+2,236067977i$$

$$y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7}\approx 2,645751311-2,236067977i$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$8\sqrt{7}y-4y^{2}=48$$

Resta 48 en los dos lados.

$$8\sqrt{7}y-4y^{2}-48=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-4y^{2}+8\sqrt{7}y-48=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -4 por a, 8\sqrt{7} por b y -48 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{\left(8\sqrt{7}\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-48\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 8\sqrt{7}.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{448-4\left(-4\right)\left(-48\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica -4 por -4.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{448+16\left(-48\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 16 por -48.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{448-768}}{2\left(-4\right)}$$

Suma 448 y -768.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±\sqrt{-320}}{2\left(-4\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de -320.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 2 por -4.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{-8}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{-8} dónde ± es más. Suma -8\sqrt{7} y 8i\sqrt{5}.

$$y=\frac{-8\sqrt{7}+8\sqrt{5}i}{-8}$$

Divide -8\sqrt{7}+8i\sqrt{5} por -8.

$$y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{-8\sqrt{7}±8\sqrt{5}i}{-8} dónde ± es menos. Resta 8i\sqrt{5} de -8\sqrt{7}.

$$y=\frac{-8\sqrt{5}i-8\sqrt{7}}{-8}$$

Divide -8\sqrt{7}-8i\sqrt{5} por -8.

$$y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7} y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i$$

Pasos para completar el cuadrado

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$8\sqrt{7}y-4y^{2}=48$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+8\sqrt{7}y=48$$

Divide los dos lados por -4.

$$\frac{-4y^{2}+8\sqrt{7}y}{-4}=\frac{48}{-4}$$

Al dividir por -4, se deshace la multiplicación por -4.

$$y^{2}+\frac{8\sqrt{7}}{-4}y=\frac{48}{-4}$$

Divide 8\sqrt{7} por -4.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y=\frac{48}{-4}$$

Divide 48 por -4.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y=-12$$

Divida -2\sqrt{7}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\sqrt{7}. A continuación, agregue el cuadrado de -\sqrt{7} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+\left(-\sqrt{7}\right)^{2}=-12+\left(-\sqrt{7}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\sqrt{7}.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+7=-12+7$$

Suma -12 y 7.

$$y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+7=-5$$

Factor y^{2}+\left(-2\sqrt{7}\right)y+7. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\sqrt{7}\right)^{2}=-5$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\sqrt{7}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Simplifica.

$$y-\sqrt{7}=\sqrt{5}i y-\sqrt{7}=-\sqrt{5}i$$

Suma \sqrt{7} a los dos lados de la ecuación.

$$y=\sqrt{7}+\sqrt{5}i y=-\sqrt{5}i+\sqrt{7}$$