Solucionar 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Resolver para x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 42x^{2}+ax+bx-3. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

La solución es el par que proporciona suma -5.

$$a=-14 b=9$$

Vuelva a escribir 42x^{2}-5x-3 como \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Factoriza 14x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Simplifica el término común 3x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x-1=0 y 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 42 por a, -5 por b y -3 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Obtiene el cuadrado de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplica -4 por 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplica -168 por -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Suma 25 y 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Toma la raíz cuadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

El opuesto de -5 es 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multiplica 2 por 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{5±23}{84} dónde ± es más. Suma 5 y 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Reduzca la fracción \frac{28}{84} a su mínima expresión extrayendo y anulando 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{5±23}{84} dónde ± es menos. Resta 23 de 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Reduzca la fracción \frac{-18}{84} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Suma 3 a los dos lados de la ecuación.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Al restar -3 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Resta -3 de 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Divide los dos lados por 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Al dividir por 42, se deshace la multiplicación por 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Reduzca la fracción \frac{3}{42} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Divida -\frac{5}{42}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{5}{84}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{5}{84} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{5}{84}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Suma \frac{1}{14} y \frac{25}{7056}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Suma \frac{5}{84} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$