Solucionar 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 40x^{2}+ax+bx+1. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

La solución es el par que proporciona suma -14.

$$a=-10 b=-4$$

Vuelva a escribir 40x^{2}-14x+1 como \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Factoriza 10x en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Simplifica el término común 4x-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 4x-1=0 y 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 40 por a, -14 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Obtiene el cuadrado de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multiplica -4 por 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Suma 196 y -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Toma la raíz cuadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

El opuesto de -14 es 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multiplica 2 por 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{14±6}{80} dónde ± es más. Suma 14 y 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Reduzca la fracción \frac{20}{80} a su mínima expresión extrayendo y anulando 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{14±6}{80} dónde ± es menos. Resta 6 de 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Reduzca la fracción \frac{8}{80} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Resta 1 en los dos lados de la ecuación.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Al restar 1 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Divide los dos lados por 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Al dividir por 40, se deshace la multiplicación por 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Reduzca la fracción \frac{-14}{40} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Divida -\frac{7}{20}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{7}{40}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{7}{40} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{7}{40}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Suma -\frac{1}{40} y \frac{49}{1600}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Suma \frac{7}{40} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$